3.  微觀孔隙結構滲流

宏觀模型中將紙視作為均質材料，不能反映孔隙結構對流動的影響。紙的無序孔隙結構中孔隙率、滲透率、接觸角發生局部變化，從而可能導致宏觀模型所不能解釋的現象。例如，宏觀模型中假定吸入前緣是均勻推進，但這僅是在粘性力占主導時成立，當毛細力占主導時，吸入前緣呈指狀突進，形成不均勻推進的前緣，如圖 4 給出的紙巾浸入墨水所形成的鋸齒狀吸入前緣[12]。Horvath 和 Stanley [13]的實驗結果發現水面上升高度與時間的冪函數關系 L ~ t0.38，這與 Washburn 方程預測結果 L ~ t0.5 不符合，當考慮動態滲透率后就能較好的解釋該實驗現象。宏觀模型假定吸入前緣經過后的所有孔隙內液體完全飽和，但實際上部分孔隙的潤濕需要一個過程甚至是不能被潤濕。此外，宏觀模型中一些與紙孔隙結構相關的參數，例如滲透率、毛細壓差等也需要通過微觀模擬或者實驗的方法來確定。

紙孔隙結構內滲流模擬分為兩個步驟，首先需要獲得代表紙微結構的幾何模型，然后在該幾何模型的基礎上求解流動控制方程。生成紙維結構的方法大體有根據紙在制造過程中纖維沉降動力學生成、隨機生成法、三維重構建模、拓撲網絡模型等。流動控制方程的求解方法可以分為采用有限元或有限容積法計算方法求解基于連續介質假說的控制方程如 NS 方程，以及格子玻爾茲曼介觀模擬方法。下面對以上方法的一些代表性工作進行介紹。

Koponen 等[14]通過模擬紙制備過程中纖維在紙厚度方向的沉降過程生成了紙微結構模型(圖 5(a))，模型生成時考慮了纖維受力導致的彎曲變形。采用格子玻爾茲曼方法模擬了沿紙厚度方向流動的滲透率，模擬得到滲透率與孔隙率之間的關系(圖 5(b))。并基于數值模擬結果給出了預測滲透率與孔隙率和纖維半徑之間的經驗關系式。

Becker 和 Wiegmann 等[15] [16]采用隨機方法生成了碳纖維紙的微結構(圖 6)，所生成的隨機模型與實際紙的微結構類似：纖維在紙平面任意分布，在厚度方向層疊。纖維直徑和孔隙率通過實驗如 SEM 圖片確定后輸入到模型中。基于生成的隨機模型，求解了紙內的單相流動，獲得了紙在平面和厚度方向的滲透率；同時通過求解毛細兩相流動，成功獲得了毛細力–飽和度曲線以及兩相界面分布。

三維重構建模一般是先利用CT或SEM對紙進行二維斷層掃描，得到圖形數據庫，然后對二維斷層掃描圖樣進行三維重建，獲得固體骨架模型。目前空間精度可達到1 μm，模型還原度高。Mark等基于SEM圖片得到的紙微結構統計信息生成了紙的三維微結構模型(圖7)，利用VOF方法通過求解NS方程模擬了此三維微結構的兩相流動，獲得了紙的微結構流動參數(如相對滲透率)，然后將微觀模擬得打的參數代入到宏觀兩相流模型中進行多尺度模擬[17]。

在隨機生成或者三維重構幾何模型上采用有限元或者有限容積方法求解NS方程，需要大量的網格來捕捉不規則區域的流動和熱邊界層，對計算資源要求高且耗時。格子Boltzmann方法(LBM)方法是一種介于分子動力學與連續介質模擬之間介觀模擬方法，處理復雜邊界非常方便，而且可以自動追蹤界面，在多孔介質流動模擬方面具有突出優勢，因此許多文獻采用該方法模擬了紙微結構內的單相流動和多相毛細滲流[9] [14] [18] [19]?；诩埲S微結構重構模型，Hyvaluoma等采用LBM模擬了潤濕液體在毛細滲流過程，模擬得到液滴在紙內滲流過程如圖8所示[9]。Wiklund和Uesaka采用LBM模擬了隨機生成的二維纖維多孔介質內的毛細滲流過程，數值模擬結果展示了孔隙結構內的非飽和流動現象(圖9)，即吸入前緣經過的區域有些孔隙沒有被液體潤濕，而是仍然由氣相占據。

隨機生成和三維重構方法都是盡量逼真多孔介質真實不規則的孔隙微結構。拓撲網絡模型則是通過建立轉化原則，將實際多孔介質中的孔隙部分簡化為由規則管道和節點相連的網絡構成，流體在管道和節點內流動，不參與流動的固體骨架部分則被排除到網絡以為而忽略。為保證模擬結果與真實多孔結構一致，通過CT掃描技術等對實際多孔介質進行掃描，獲得孔隙分布的信息，并據此確定拓撲網絡模型中管道和節點形狀、尺寸、連接特定等參數，使其流動阻力性質與真實孔隙內流動一致。拓撲網絡模型雖然不能完全重現多孔介質的內局部流動分布，但是在很多情況下我們并不關心每個孔隙內的具體流動狀態，而是多孔介質內的整體流場分布。拓撲網絡模型可以給出多孔介質內的大致氣液分布界面，壓力分布，流量，滲透概率等等，能夠滿足大部分細觀滲流問題的需要[20]。

Bijeljic等[21]采用拓撲網絡模型模擬了重量場下潤濕液體在堆積顆粒多孔介質內的毛細爬升動力過程。拓撲網絡模型由球體和圓管按立方體方式排布而構成(圖10)，其中球體和圓管半徑都按實際多孔介質孔隙結構的統計信息給定。即在液體被吸入的初始階段，毛細力大于重力，液體爬升速度很快，流動受粘性力主導，這時氣液界面分明(即液體飽和度跳躍變化)；當液面爬升達到一定高度以后，毛細力與重力相當，液面上升速度逐漸減慢，這時氣液界面為多相流區域(即液體飽和度存在梯度變化)。拓撲網絡模型成功預測了氣液界面區域飽和度變化的現象。Pan等采用三維拓撲網絡模型模擬了紙表面噴涂液體后的干燥過程，但該模型的建立并沒有考慮紙的實際微結構。Ghassemzadeh和Sahimi首先通過SEM圖片獲得紙的孔隙分布，并在此基礎之上建立了立方體拓撲網絡模型描述紙的微結構，模擬了紙的單相和多相流動。

作者：馮上升，陳玧如，盧天健，徐 峰

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